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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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8. Calcular las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes:
b) ∫tsen⁡(βt)dt\int t \operatorname{sen}(\beta t) d t

Respuesta

Vamos a resolver esta integral nuevamente usando integración por partes:

∫tsen⁡(βt)dt\int t \operatorname{sen}(\beta t) d t

Que no te confunda esta expresión, β\beta es simplemente un número eh, imaginate el que quieras ahí jaja

Recordemos como siempre:

∫f′⋅g=f⋅g−∫f⋅g′ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g'

Entonces vamos a tomar:

g=t⇒g′=1g = t \Rightarrow g' = 1
f′=sin⁡(βt)dt⇒f=∫sin⁡(βt) dt=−1βcos⁡(βt)f' = \sin(\beta t) dt \Rightarrow f = \int\sin(\beta t) \, dt = -\frac{1}{\beta}\cos(\beta t)

Esta integral que acaba de aparecer ahí: ∫sin⁡(βt) dt\int\sin(\beta t) \, dt sale por sustitución tomando 

u=βtu = \beta t

du=β dt⇒dt=duβdu = \beta \, dt \Rightarrow dt = \frac{du}{\beta}

y con esto deberías llegar sin problemas a ese resultado. Todo esto en un parcial lo podés poner en un cálculo auxiliar al costado en tu hoja. 

Aplicamos entonces la fórmula de partes:

∫tsen⁡(βt)dt= −1βcos⁡(βt)⋅t−∫ −1βcos⁡(βt) dt \int t \operatorname{sen}(\beta t) d t = -\frac{1}{\beta}\cos(\beta t) \cdot t - \int -\frac{1}{\beta}\cos(\beta t) \, dt 

∫tsen⁡(βt)dt= −1βcos⁡(βt)⋅t+1β∫ cos⁡(βt) dt \int t \operatorname{sen}(\beta t) d t = -\frac{1}{\beta}\cos(\beta t) \cdot t + \frac{1}{\beta} \int \cos(\beta t) \, dt 

Y ahora esta integral nuevamente vuelve a salir por sustitución tomando u=βtu = \beta t y obtenemos:

∫tsen⁡(βt)dt= −1βcos⁡(βt)⋅t +1β2sin⁡(βt)+C\int t \operatorname{sen}(\beta t) d t = -\frac{1}{\beta}\cos(\beta t) \cdot t + \frac{1}{\beta^2} \sin(\beta t) + C
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